Алгоритм решения задач по кинематике

Как решать задачи по кинематике?
Не существует универсального метода решения задач по физике, но существует универсальный подход к решению задач.
Когда грамотный физик, а мы собираемся стать грамотными физиками, решает задачу, то его действия можно поделить
на три больших этапа:
1. Постановка задачи;
2. Решение задачи;
3. Анализ решения.
При постановке задачи и анализе решения мы являемся физиками, при решении задачи мы математики.
Постановка задачи – наиболее важный, а в школьных задачах, и наиболее трудный этап. Мы должны понять физику
явления, сформулировать физическую модель, а затем перевести ее в математическую. Конечным результатом этого
этапа должна быть система уравнений и неравенств.

При решении задач по кинематике этот этап разбивается на четыре ступени:
1.Внимательно, не торопясь, прочитайте условие задачи. Подумайте, о каком физическом явлении идет речь. Какие
физические величины известны, а какие надо найти? (Когда задача сложная, не следует особенно стремиться получить
ответ. Надо последовательно, аккуратно ставить задачу, а ответ придет сам, куда ему деваться?)
2.Изобразите на рисунке (схематически) рассматриваемые тела, изобразите их движения.
3.Выберите систему отсчета. Для этого надо построить систему координат, т. е. задать ее начало и положительные
направления координатных осей. Кроме того, надо выбрать начало отсчета времени. Без выбора системы отсчета
описать движение полностью невозможно.
Для описания прямолинейного движения достаточна одна координатная ось, совмещенная с траекторией движения.
Если движение происходит в одной плоскости, то потребуются две оси, для 3-х мерного движения необходима
3-х мерная система координат.
Выбор системы отсчета произволен и не влияет на конечный результат решения задачи. Но удачный выбор системы
отсчета упрощает решение задачи.
На этом мы заканчиваем построение физической модели и нам надо превратить ее в математическую модель. Помните,
математика – язык физики.
4.Запишите уравнения, описывающие движения всех тел. В случае кинематики в школьных задачах это будут
уравнения для зависимости координат материальных точек от времени. Далее от уравнений для значений координат
и проекций заданных величин надо перейти к уравнениям для их модулей. Это непростой момент, рисунок должен Вам
помочь.
5.Сформулируйте на языке математики так называемые «начальные» и «скрытые» условия. В качестве начальных
условий обычно выступают значения координат и скоростей в начальный момент времени, а вот нахождение скрытых
условий – это самый деликатный момент в решении задачи. В кинематике в качестве скрытых условий может быть,
например, встреча двух тел в момент времени tв, т. е. их координаты в этот момент равны. Это условие дает уравнение:
x1(tв) = x2(tв).
Общее число уравнений должно равняться числу неизвестных.
6.На этом заканчивается этап постановки задачи. Мы получили систему уравнений, может быть, систему уравнений и
неравенств, которые являются математической моделью решаемой нами задачи. В последний момент мы смотрим, а что,
собственно, нам надо найти в этой задаче, и из состояния «физик» мы переходим в состояние «математик» и решаем эту
систему в общем (буквенном) виде. Решать в общем виде – это строго обязательно. Всякая подстановка численных
значений до получения общего ответа – это серьезное нарушение. Оценка за это снижается немилосердно!
7.После того, как получен ответ в общем виде, мы снова переходим в состояние «физик» и занимаемся анализом задачи.
Полезно посмотреть, к каким последствиям приводит увеличение или уменьшение величин, заданных в условии задачи.
Посмотрите области допустимых значений. Проследите, чтобы размерности правой и левой части уравнений были
одинаковы. Если у Вас метры складываются с секундами, идите в начало задачи и ищите ошибку. Замечательно, что Вы
ошиблись, поиск своих или чужих ошибок – самый эффективный способ обучения. Когда все получается с первого раза –
чему тогда учиться?
8.Подставьте в буквенный ответ числовые значения заданных физических величин с наименованием их единиц.
Предварительно надо выразить все числовые значения в одной системе единиц. Выполните вычисления и получите ответ.
Пользуйтесь правилами приближенных вычислений. Следите, чтобы точность полученного ответа не превосходила
точности заданных величин. К сожалению, составители задач редко правильно задают точность исходных величин.
Перечисленные рекомендации не надо считать абсолютно жесткими, неизменными. Всего не предусмотришь. В некоторых
случаях отдельные пункты можно опустить, иногда приходится вводить новые. Многие задачи проще решать графически.
Но на первых этапах мы должны придерживаться этой схемы. Если где-то мы отходим от нее, то делать это надо
осознанно. Когда Вы станете большими мастерами в решении задач по физике, тогда Вы можете импровизировать. А эталон,
к чему надо стремиться, сформулировал Р.Фейнман

Физик, это тот, кто видит решение задачи, еще не решая ее.
Приступаем к решению задач. Понятно, что первые задачи будут несложными. Надо привыкнуть к последовательному
выполнению этапов решения задач по кинематике.

Задача 1
Тело движется равномерно вдоль оси Х. Со скоростью v = 2 м/с противоположно положительному направлению оси Х.
Найдите положение тела в момент времени t1 = 10 с после начала движения, если начальная координата x0 = 5 м. Чему
равен путь, пройденный телом?
Решение.
Выписываем в левом верхнем углу «Дано» и делаем рисунок. Иногда это полезно делать одновременно.

Дано:
v = 2 м/с
t1 = 10 с
x0 = 5 м
x(t1) = ?
                                                                                                            s(t1) = ? t1

Из условия задачи видно, что физической моделью задачи является материальная точка, двигающаяся по прямой с
постоянной скоростью. Математической моделью такого процесса является математическое уравнение для координат
материальной точки:
x = x0+ vxt.
По условию задачи vx= -v и формула для координаты принимает вид:
x = x0 - vt.
Пройденный телом путь равен
s = vt.
В этих уравнениях t – параметр, переменная величина. Уравнения показывают, как изменяется координата материальной
точки и пройденный ею путь со временем t. Можно для большей ясности писать x(t) и s(t). Смотрим в условие задачи, что
нам нужно найти. Координату и пройденный путь в момент времени t1. Физика закончилась. Переходим в состояние
«математик» и смотрим, что нам предстоит решить. В этой задаче работы для математика нет. Надо подставить вместо t
ее численное значение t1 и подсчитать численный ответ. Обратите внимание, t - переменная величина, а t1 – число.
В школьных задачах по физике, как правило, не бывает сложной математики. Поэтому когда Вы оформляете решение
задачи в чистовике, математическую часть можно излагать предельно кратко. Леша Щекин на контрольных и олимпиадах
выписывал исходную систему уравнений, потом сразу выписывал ответ в общем виде и численный ответ. Это правильно.
Но когда Саша Головко записывал «Дано», потом замирал на какое-то время, а потом сразу писал ответ, то это уже слишком.
Так поступать не следует. Экзаменатор может подумать, что Вы списали.
Итак, мы имеем:
x(t1) = x0 – vt1 = 5 м – 2 м/с•10 с = -15 м.
Пройденный телом путь равен
s(t1) = vt1 = 2 м/с•10 с = 20 м.
Анализ решения.
Из уравнение для координаты видно, что тело из +? движется к началу координат, в момент времени t = 0 оно проходит
координатуx0 = 5 м, в момент времени 2,5 с оно проходит через начало координат и уходит в -?. С размерностями величин
все в порядке. Поэтому у нас есть основания надеяться, что мы правильно решили задачу.

Задача 2
Из пунктов А и В, расстояние между которыми l = 55 км, одновременно начали двигаться с постоянными скоростями навстречу
друг другу по прямому шоссе два автомобиля. Скорость первого автомобиля v1 = 50 км/ч, а второго v2 = 60 км/ч. Через
сколько времени после начала движения автомобили встретятся? Найдите пути, пройденные каждым автомобилем за это время.
Решение.

Дано:
l = 55 км
v1 = 50 км/ч
v2 = 60 км/ч
t1 = ?
s1= ?
s1= ?

Представим движение автомобилей как движение материальных точек.
Примем пункт А за начало координат и направим координатную ось Х в сторону пункта В (см.рис.). Движение автомобилей будет
описываться уравнениями:
x1(t) = x01 + v1xt,
x2(t) = x02 + v2xt.
Начальные условия:
x01 = 0,x02 = l.
Так как вектор скорости первого автомобиля направлен в положительном направлении, а второго – в отрицательном, то
v1x = v1,v2x = -v2.
Поэтому первые два уравнения перепишем в виде:
x1(t) = v1t,
x2(t) = l – v2t.
Когда в момент времени t1 автомобили встретятся, они будут иметь равные координаты:
x1(t1) = x2(t1),
или
v1t1 = l – v2t1.
Откуда
t1 =l/(v1 + v2) = 0,5 ч.
Пройденные пути равны
s1 =v1t1 = 25 км,s2 = v2t1 = 30 км.
Анализ задачи.
Задача слишком простая, чтобы что-то еще анализировать. Можно сложить s1 + s2, получается 55 км, значит, решили правильно,
скорее всего.
 
Задача 3
Движение точки на плоскости описывается уравнениями
х = 6 м + 3 м/с •t,
y = 4 м/с •t.
Определить траекторию движения точки и построить ее на плоскости XOY.
Решение.
Исключим из обоих уравнений параметр t. Для этого выразим время из первого уравнения и подставим во второе, получим:
y = 4x/3 – 8 м.
Это уравнение прямой линии с угловым коэффициентом 4/3 и пересекающая ось OY в точке –8. Можно построить ее по точкам,
при х = 0y = -8 ми при y = 0х = 6 м.
Направление скорости движения точки укажем стрелкой.
























     Задача 4
На рисунке изображен график зависимости от времени координаты точки, движущейся вдоль оси Х. Как двигалась точка?
Постройте графики модуля v и проекции vxскорости, а также пути в зависимости от времени.
















  Решение.
В течение первых 3 с координаты точки изменялись от 2 м до – 4 м, следовательно, точка двигалась противоположно
положительному направлению оси Х. Проекция скорости равна
V1x = (- 4 – 2 )/ 3 м/c = - 2 м/c,
А модуль скорости равен v1 = 2 м/с.
Следующие 4 с точка не двигалась, ее координаты не изменялись, v2x = v2 = 0. Потом в течение 2 с точка двигалась в
положительном направлении оси Х о пришла в начало координат (х = 0).Проекция и модуль скорости соответственно равны
v3x = v3 = (0 – (-4))/2 м/с = 2 м/с.
На рисунке «а» изображен график проекции скорости, на рисунке «б» – график модуля скорости, на рисунке «в» - график пути.
При построении графика пути не забывайте, что путь не может быть отрицательным и при движении не убывает.


















  Задача 5
С подводной лодки, погружающейся равномерно, испускаются звуковые импульсы длительностью t1 = 30,1 с. Длительность
импульса, принятого на лодке после его отражения от дна, равна t2 = 29,9 с. Определите скорость погружения лодки v.
Скорость звука в воде с = 1500 м/с.
Решение.
Звуковой импульс не является материальной частицей, однако уравнения движения звукового импульса такие же, как и у
материальной точки, поэтому можно применять законы кинематики материальной точки.
За время t1 лодка переместится на расстояние vt1, поэтому расстояние в воде между началом импульса и его концом равно
L = ct1 – vt1.
Такая длина сигнала сохранится и после отражения от дна. Прием импульса закончится в тот момент, когда лодка встретится
с задним концом импульса. Поскольку скорость их сближения равна с + v, то продолжительность приема равна
t2 = L/(c + v)
Решая эти уравнения совместно, получим
v = = 5 м/с.

 


  С методами решения задач по теме "Электрический нагреватель" можно познакомиться эдесь